T矩阵方法介绍

纯净系统的哈密顿量为$H^0(\mathbf{k}\mathbf{)}$，加入杂质$V$后，系统的哈密顿量为$H(\mathbf{k}\mathbf{)}\mathbf{=}{\mathbf{H}}^{\mathbf{0}}\mathbf{(}\mathbf{k}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{V}$。

加入杂质后系统的格林函数为$$G=G^0+G^{0}T{G}^0$$，此处$G^0$代表纯净系统的格林函数:$G^0(z)=(z-H(\mathbf{k}\mathbf{)}{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathbf{1}}$，$T$矩阵可以通过杂质$V$和$G^0$计算得到:$T=V(I-G^{0}V{)}^{-1}$，$I$代表单位矩阵。

对于点状杂质，通常是是写在实空间中的表达式$V(r)=V_0\delta (\mathbf{r}\mathbf{)}$，那么实空间中的格林函数为:$G(r,r^{\prime })=G^0(r,r^{\prime })+G^0(r,0)T_0(z)G^0(0,r^{\prime })$，在实空间中局域的$T_0$矩阵为$T_0(z)=(V^{-1}-G^0(z){)}^{-1}$，$G^0(z)=\frac{1}{N}\sum _k(z-H_k^0{)}^{-1}$，它是纯净系统动量空间中的格林函数的傅里叶变换，公式中的N代表傅里叶变换时选取的k点的数目。

参考文献

1. Impurity-induced states in conventional and unconventional superconductors

实空间与k空间Fourier变换

在固体物理的研究中通常要使用到紧束缚近似模型，而且还会用到它的实空间和k空间Hamiltonian，通常取晶格常数a=1，则实空间与k空间算符的变换关系为

$c_k=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _j{c}_j{e}^{-ikj}$

$c_j=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{BZ}dk{c}_k{e}^{ikj}$

由于k空间是连续的，所以对动量k的积分是在整个第一布里渊区(BZ)进行的，而实空间的格点是离散的，所以由实空间算符到k空间算符进行的是离散的傅里叶变化，对应的由动量空间(k空间)到实空间的算符变化，进行的是连续傅里叶变换。

在此处需要说明的是，假设上面进行变换的算符都是费米子算符，则实空间与k空间的算符都是满足反对易关系的，在验证这个对易关系的时候，通常都要使用到$\delta$函数，它也同样有离散和连续的表达式

$\sum _j\frac{1}{2\pi }{e}^{-i(k-k^{\prime })j}=\delta (k-k^{\prime })$

$\frac{1}{2\pi }{\int }_{BZ}dk{e}^{ik(x_i-x_j)}={\delta }_{ij}$

若想将实空间中的Hamiltonian变换到k空间,则将$c_j$到$c_k$的变换关系代入,然后利用$\delta$函数的关系即可.同样的,由k空间变换到实空间的操作只不过是一个相反的过程,将本来的$c_k$写成由$c_j$的表示形式,然后利用$\delta$函数的关系即可.

通常,如果遇到实空间是个离散的晶格点阵,如果我们的体系在考虑的时候,并不是无限大的,那么对应着的k空间中的动量点k也是一些离散的量.假设取实空间的格点数为N,晶格常数为a,则实空间中系统的大小为L=N*a(为了简答考虑,先默认这个是一维的系统),则k点的取值为$k_m=\frac{2\pi m}{L}$,m的取值范围和N有关:$m=-\frac{N}{2},-\frac{N}{2}+1,\dots \frac{N}{2}-1$.这种离散的情况下通常进行实空间与动量空间变换时同样需要$\delta$函数的辅助

$\frac{1}{N}\sum _k{e}^{-ikj}{e}^{-ik{j}^{\prime }}={\delta }_{j{j}^{\prime }}$

$\frac{1}{N}\sum _j{e}^{ikj}{e}^{-i{k}^{\prime }j}={\delta }_{k{k}^{\prime }}$